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Anwendungsbeispiele Portugiesisch
- Um resultado paradoxal é que, usando os axiomas usuais da Teoria dos Conjuntos sem incluir o axioma da escolha, não é possível mostrar que o produto de conjuntos não-vazios tem algum elemento.
- Gödel também mostrou que tanto o axioma da escolha quanto a hipótese do continuum não podem ser refutados a partir de axiomas aceitos na teoria dos conjuntos, assumindo que esses axiomas são consistentes.
- A independência do axioma da escolha e da hipótese do contínuo dos outros axiomas de teoria dos conjuntos (provada por Paul Cohen e Kurt Gödel) são os dois resultados mais famosos fornecidos pela teoria de modelos.
- Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do axioma da escolha.
- O trabalho conjunto de Gödel e Paul Cohen nos deu dois exemplos concretos de afirmações indecidíveis (no primeiro sentido do termo): a hipótese do continuum não pode ser provada nem refutada no conjunto de Zermelo-Fraenkel – ZFC (a axiomização padrão da teoria dos conjuntos), e o axioma da escolha não pode ser refutado nem provado na ZF (que são todos os axiomas do ZFC exceto o axioma da escolha.
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