Übersetzung für 'Hausdorff'scher Raum' von Deutsch nach Englisch

Hausdorff'scher Raum {m}

T2 space [Hausdorff space]math.

• Der Abstand zweier Mengen im euklidischen Raum (oder allgemeiner in einem metrischen Raum) kann über die Hausdorff-Metrik definiert werden.
• In einem nicht-hausdorffschen Raum kann ein Filter gegen mehrere Punkte "konvergieren". Hausdorff-Räume lassen sich sogar gerade dadurch charakterisieren, dass in ihnen kein Filter existiert, welcher gegen zwei verschiedene Punkte konvergiert.
• Jeder metrische Raum ist ein topologischer Raum mit der Topologie, die durch die Metrik induziert wird (siehe dazu Umgebung). Jeder metrische Raum ist ein Hausdorff-Raum.
• Für einen lokal kompakten Hausdorff-Raum [...] ist die lokale Endlichkeit äquivalent dazu, dass jede kompakte Menge endliches Maß besitzt.
• Wie jede von einem uniformen Raum erzeugte Topologie ist die Topologie einer topologischen Gruppe vollständig regulär. Insbesondere gilt, dass eine topologische Gruppe, welche [...] erfüllt (d. h., die ein Kolmogoroff-Raum ist), sogar ein Hausdorff-Raum ist.

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• In der Kategorie [...] der Hausdorff-Räume sind die extremalen Epimorphismen die gleichen wie in [...] , jedoch "die Epimorphismen sind die stetigen Abbildungen mit dichtem Bild". Diese Tatsache wird häufig ausgenutzt bei so genannten „Dichteschlüssen“: Um zu zeigen, dass zwei stetige Funktionen mit gemeinsamen Definitionsbereich [...] (ein Hausdorff-Raum) gleich sind, genügt es zu zeigen, dass sie auf einer dichten Teilmenge [...] des Definitionsbereichs übereinstimmen. Die Inklusionsabbildung [...] ist ein Epimorphismus, woraus die Gleichheit auf dem gesamten Definitionsbereich folgt.
• In einer völlig unabhängigen Begriffsbildung werden in der Topologie Hyperräume als Strukturen über topologischen Räumen konstruiert. Unter dem Hyperraum [...] eines Raumes [...] versteht man dabei einen Raum, dessen Punkte geeignete Teilmengen von [...] sind, und in den [...] eingebettet werden kann. Dieser Hyperraumbegriff wurde 1914 von Felix Hausdorff in seinen "Grundzügen der Mengenlehre" für metrische Räume entwickelt, er wurde 1922 von Leopold Vietoris auf allgemeine topologische Räume ausgedehnt.
• Ein Hausdorff-Raum (auch hausdorffscher Raum; nach Felix Hausdorff) oder "separierter Raum" ist ein topologischer Raum [...] , in dem das Trennungsaxiom [...] (auch Hausdorffeigenschaft oder hausdorffsches Trennungsaxiom genannt) gilt.
• Im Jahre 1916 lösten Hausdorff und Alexandroff unabhängig voneinander das Kontinuumproblem für Borelmengen: Jede Borelmenge in einem vollständigen separablen metrischen Raum ist entweder höchstens abzählbar oder sie hat die Mächtigkeit des Kontinuums. Dieses Resultat verallgemeinert den Satz von Cantor-Bendixson, der eine solche Aussage für abgeschlossene Mengen des [...] macht. Für lineare [...] -Mengen hatte William Henry Young 1903, für [...] -Mengen Hausdorff 1914 in den "Grundzügen" ein entsprechendes Resultat erzielt. Der Satz von Alexandroff und Hausdorff war ein kräftiger Impuls für die weitere Entwicklung der deskriptiven Mengenlehre.